Lecture 5 ¶

1. 推断统计与预测统计 :material-assessment:¶

推断统计（Inferential Statistics） 是从样本数据中推断总体参数的统计方法。常用的方法有假设检验、置信区间、回归分析等。

预测统计（Predictive Statistics） 是从样本数据中预测未来数据的统计方法。常用的方法有回归分析、时间序列分析等。

两者的核心区别在于：

2. Hypothesis Testing ¶

2.1 假设检验的基本概念¶

假设检验（Hypothesis Testing） 是推断统计的核心方法，用于根据样本数据对总体参数做出判断。

• 原假设（Null Hypothesis, \(H_0\)）：默认假设，通常表示"没有效果"或"没有差异"
• 备择假设（Alternative Hypothesis, \(H_1\) 或 \(H_a\)）：研究者想要证明的假设

2.2 假设检验的完整流程¶

graph TD
    A[提出假设 H0 和 H1] --> B[选择显著性水平 α]
    B --> C[选择检验统计量]
    C --> D[计算检验统计量和 p 值]
    D --> E{p 值 < α ?}
    E -->|是| F[拒绝 H0]
    E -->|否| G[不拒绝 H0]
    F --> H[结论：结果具有统计显著性]
    G --> I[结论：证据不足以拒绝 H0]

步骤详解：

1. 提出假设：明确 \(H_0\) 和 \(H_1\)（单尾或双尾）
2. 选择显著性水平 \(\alpha\)：通常为 0.05（5%），也可选择 0.01 或 0.10
3. 选择检验方法：根据数据类型和分布选择合适的检验统计量
4. 收集数据并计算：计算检验统计量和对应的 p 值
5. 做出决策：比较 p 值与 \(\alpha\)

2.3 两类错误¶

• 第一类错误（假阳性）：\(H_0\) 为真却拒绝了，概率为 \(\alpha\)
• 第二类错误（假阴性）： \(H_0\) 为假却没有拒绝，概率为 \(\beta\)

2.4 p 值的正确理解¶

p 值 是在原假设为真的前提下，观测到当前样本结果（或更极端结果）的概率。

2.5 常用检验方法¶

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from scipy import stats

# 单样本 t 检验
t_stat, p_value = stats.ttest_1samp(data, popmean=50)

# 独立样本 t 检验
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(group1, group2)

# 配对样本 t 检验
t_stat, p_value = stats.ttest_rel(before, after)

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from scipy.stats import chi2_contingency

# 构建列联表
contingency_table = pd.crosstab(df['gender'], df['purchase'])

chi2, p_value, dof, expected = chi2_contingency(contingency_table)
print(f"Chi2 = {chi2:.4f}, p-value = {p_value:.4f}")

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from scipy.stats import f_oneway

# 单因素方差分析
f_stat, p_value = f_oneway(group1, group2, group3)
print(f"F = {f_stat:.4f}, p-value = {p_value:.4f}")

3. 置信区间（Confidence Interval） ¶

置信区间 提供了总体参数的估计范围，比单一点估计更有信息量。

其中 \(z_{\alpha/2}\) 是标准正态分布的临界值：

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import numpy as np
from scipy import stats

data = [52, 48, 50, 53, 49, 51, 47, 50, 52, 48]
n = len(data)
mean = np.mean(data)
se = stats.sem(data)  # 标准误

# 95% 置信区间
ci = stats.t.interval(0.95, df=n-1, loc=mean, scale=se)
print(f"均值 = {mean:.2f}")
print(f"95% CI = [{ci[0]:.2f}, {ci[1]:.2f}]")

4. 回归分析基础 ¶

回归分析（Regression Analysis） 用于建模因变量（目标）与一个或多个自变量（特征）之间的关系。

4.1 简单线性回归¶

其中 \(\beta_0\) 是截距，\(\beta_1\) 是斜率。使用 最小二乘法（OLS） 求解：

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from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np

X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]])
y = np.array([2.1, 3.9, 6.2, 7.8, 10.1])

model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

print(f"截距: {model.intercept_:.4f}")
print(f"斜率: {model.coef_[0]:.4f}")
print(f"R²: {model.score(X, y):.4f}")

4.2 模型评估指标¶

4.3 多元线性回归与逻辑回归¶

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from sklearn.linear_model import LinearRegression

X = df[['age', 'income', 'education_years']]
y = df['spending']

model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
print("各特征系数:", dict(zip(X.columns, model.coef_)))

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from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import classification_report

model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)
y_pred = model.predict(X_test)
print(classification_report(y_test, y_pred))