Lecture 10: Geometry 1 (Introduction)¶

几何表示概述¶

在计算机图形学中，如何表示三维几何形状是一个基本问题。主要分为两大类：隐式表示（Implicit）和显式表示（Explicit）。

特性	隐式表示	显式表示
表达方式	\(f(x,y,z)=0\) 的形式	直接给出点的位置
内外判断	容易（代入看符号）	困难
采样渲染	困难	容易
布尔运算	容易	困难
拓扑变化	自然处理	需要额外处理

Implicit Representation¶

隐式表示法使用一个函数来表示几何图形。如一个球，可以表示为：

\[ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0 \]

隐式表示难以进行渲染，但很方便进行布尔运算，如两个球的并集、交集等，也可以方便地判断点是否在图形内部。

隐式表示的布尔运算

给定两个隐式曲面 \(f(\mathbf{x}) = 0\) 和 \(g(\mathbf{x}) = 0\)，可以通过如下方式构造布尔运算：

并集（Union）：\(h(\mathbf{x}) = \min(f(\mathbf{x}), g(\mathbf{x})) = 0\)
交集（Intersection）：\(h(\mathbf{x}) = \max(f(\mathbf{x}), g(\mathbf{x})) = 0\)
差集（Difference）：\(h(\mathbf{x}) = \max(f(\mathbf{x}), -g(\mathbf{x})) = 0\)

这就是构造实体几何（CSG）的数学基础。

常见的隐式表示形式：

代数曲面Blobby / Metaball符号距离函数（SDF）

多项式方程 \(f(x,y,z) = 0\)，如球面、圆柱面、圆锥面。

用一组基函数的和来定义表面，适合模拟液态、有机形状：

\[ f(\mathbf{x}) = \sum_i a_i \cdot e^{-\left\lVert \mathbf{x} - \mathbf{c}_i \right\rVert^2 / \sigma_i^2} - T = 0 \]

其中 \(\mathbf{c}_i\) 是各球体中心，\(T\) 是阈值。

\(f(\mathbf{x})\) 的值等于点 \(\mathbf{x}\) 到表面的最短距离（内部为负，外部为正），零等值面即为几何表面。

Explicit Representation¶

显式表示法使用顶点、边、面等基本元素来表示几何图形。常见的显式表示法有多边形网格（polygon mesh）、曲面（surface）等。

所有的点都是直接给出或者通过参数映射给出。

如：

\[ f(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \]

显式表示法便于渲染，但不方便进行布尔运算，也不方便判断点是否在图形内部。

实际应用中要根据实际需求选择合适的表示法。

多边形网格（Polygon Mesh）

在实时渲染中，最常用的显式表示是三角形网格。它由以下元素组成：

顶点（Vertex）：空间中的点，存储位置坐标
边（Edge）：连接两个顶点的线段
面（Face）：由三条或更多边围成的多边形（通常为三角形）

存储结构通常使用索引数组（Indexed Face Set）：一个顶点数组 + 一个索引数组，避免重复存储共享顶点。

Constructive Solid Geometry (CSG)¶

构造实体几何（CSG）使用布尔运算来构建复杂的几何图形。常见的布尔运算有并集、交集和差集。

graph TD
    A["基本体素\n(球、立方体、圆柱等)"] --> B["并集 (Union)"]
    A --> C["交集 (Intersection)"]
    A --> D["差集 (Difference)"]
    B --> E["复杂几何体"]
    C --> E
    D --> E

CSG 通常以二叉树的形式组织：叶节点是基本体素，内部节点是布尔运算。渲染时从根节点递归求值。

Distance Function¶

距离函数（Distance Function）用于表示几何图形的距离信息。对于一个点 \((x, y, z)\)，距离函数 \(f(x, y, z)\) 表示该点到几何图形表面的最短距离。

可以用于混合一个移动的边界。比如A情况下，边界移动了 \(\frac{1}{3}\)，B情况下，边界移动了 \(\frac{2}{3}\)，那么可以通过距离函数来混合这两种情况，得到一个新的边界，结果为边界移动了 \(\frac{1}{2}\)。

找到距离函数的零点即可得到边界。

距离函数的混合操作

给定两个几何体的符号距离函数 \(f(\mathbf{x})\) 和 \(g(\mathbf{x})\)，可以通过插值实现平滑过渡（Blend）：

\[ h(\mathbf{x}) = (1 - t) \cdot f(\mathbf{x}) + t \cdot g(\mathbf{x}) \]

其中 \(t \in [0, 1]\) 控制混合比例。这种方法在动画中非常有用——可以实现一个物体平滑变形为另一个物体的效果。

与 CSG 的硬布尔运算不同，距离函数混合产生的是光滑过渡面，适合模拟有机形状。

Level Sets¶

水平集（Level Sets）用于表示几何图形的等值面。对于一个距离函数 \(f(x, y, z)\)，其水平集 \(f(x, y, z) = c\) 表示距离为 \(c\) 的等值面。

在CT扫描中，可以通过水平集来重建三维图像。

水平集在医学影像中的应用

CT 扫描得到的是逐层的密度数据，将这些数据看作三维标量场，取适当的等值面（如骨骼密度阈值），即可重建出器官的三维表面。这就是 Marching Cubes 算法的基本思路。

Fractals¶

分形（Fractals）是自相似的几何图形，可以通过递归的方法来生成。常见的分形有曼德布罗集（Mandelbrot Set）、朱利亚集（Julia Set）等。

分形的核心特征是自相似性——无论放大多少倍，局部结构与整体结构相似。

表示方法对比¶

表示方法	类型	优点	缺点	典型应用
代数曲面	隐式	布尔运算简单	复杂形状难表达	基本体素
距离函数 / SDF	隐式	混合平滑、内外判断快	精确求交困难	体素渲染、CSG
多边形网格	显式	GPU 渲染高效	布尔运算复杂	实时渲染
点云	显式	采集方便	无拓扑信息	三维扫描
参数曲面	显式	光滑连续	交线计算复杂	CAD 建模